Сферой радиуса R > 0 называется поверхность, все точки которой равноудалены от данной точки О на расстояние R. Данная точка называется центром сферы.

Множество всех точек пространства, расположенных на, сфере и внутри нее, называется шаром. Сечение сферы с плоскостью может быть

• а) окружностью,
• б) состоять из одной точки;
• в) пустым множеством.

В случае б) плоскость называется касательной к сфере, а общая их точка называется точкой касания.

Теорема. Плоскость касается шара в том и только и том случае, если расстояние от центра до плоскости равно радиусу шара. При этом плоскость перпендикулярна радиусу в точке касания.

Пусть А - проекция на плоскость центра М₀ шара (рис. 27). Тогда М₀А , а значит, М₀А обозначает расстояние от М₀ до . Если М₀А = R, то то точка A лежит на сфере (по определению). Следовательно, А - общая точка плоскости и сферы (шара). Для любой точки В плоскости имеем М₀В > М₀А = R, т.к. М₀В наклонная к плоскости. Таким образом, точка В не принадлежит шару. Тем самым плоскость и шар имеют только одну общую точку А и М₀А .