31.3. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см. а апофема — 15 см. Найти боковое ребро.

Обратимся к чертежу задачи (см. рис. 64).

Вершина S правильной четырехугольной пирамиды проектируется в центре О квадрата ABCD. Апофема SE пирамиды перпендикулярна ребру основания ВС. Отрезок ОЕ — проекция апофемы SE на основание, ОЕ _|_ BC. Проекция бокового ребра SC пирамиды на основание совпадет с половиной ОС диагонали АС квадрата ABCD. Треугольники SOE, SOC и ОКС прямоугольные.

1. Из SОE по теореме Пифагора

ОE = 9 см.

2. Из ОEС по теореме Пифагора

так как ОЕ = ЕС (диагональ квадрата образует со стороной угол в 45°;

значит, EОС = 45°. Следовательно,

3. Из SОС по теореме Пифагора

31.4. Ребро куба равно a. Найдите расстояние oт вершины куба до его диагонали, соединяющее две другие вершины.

Пусть D₁ -- вершина куба, А₁С - диагональ куба (рис. 65). Ксли через три псршпиы А₁, D₁ и С₁ куба провести плоскость, то сечением этой плоскостью с поверхностью куба будет прямоугольник А₁ВСD₁. На диагональ А₁С этого прямоугольника опускаем перненднкуляр D₁Е из вершины D₁. Длина отрезка D₁Е и есть искомое расстояние, о котором идет речь в задаче. Егo найдем как высоту прямоугольного треугольника А₁D₁C (A₁D₁ _/_ D₁,С₁, потому что ребро A₁D₁ куба перпендикулярно грани D₁C₁CD). Вычисления: