313.3. Шар с центром в точке О касается плоскости и точке A. Точка лежит и плоскости касания. Найдите объем шара. если AB = 21 см. а BO = 29 см.

Касательная плоскость перпендикулярна радиусу ОA (рис. 88). Поэтомe отрезок ОA перпендикулярен любой прямой из плоскости , и частности Следовательно, треугольник OAB прямоугольный,
ОB = 29 см, AB = 21 см.
По теореме Пифагора радиус шара равен

Получаем

Объем шара вычисляется по формуле

313.4. Определите, па каком расстоянии от вершины надо пронести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была рампа половине площади основания, если высота конуса равна h.

Воспользуемся теоремой: площади сечений конуса, параллельных основанию, относятся как квадраты расстояний от центром этих сечений до вершины. Пусть S — площадь основания конуса, О — центр основания, B — вершина и пусть S₁ — площадь сечения (рис. 89). Тогда

где Q— центр сечения. А так как по условию