314.3. Сферу на расстоянии 8 см от центра пересекает плоскость. Радиус сечения ранен 15 см. Найдите площадь сферы.

Сечение сферы с плоскостью есть окружность с центром О₁ радиуса О₁А (рис. 90). Мри этом ОО₁ (О - центр cферы) пернендикулярно О₁А. Радиус R сферы найдем из прямоугольного треугольника ОО₁А:

где

ОО₁ = 8 см,
О₁А = 15 см

Получаем

Площадь сферы S радиуса R равна . Следовательно,

314.4. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми равен . Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы.

Обозначим сторону основания призмы ABCA₁B₁C₁ буквой а (рис. 91). Пусть плоскость проведена через ребро АB и пересекает ребро СС₁ в точке СС₂. Тогда, из равностороннего треугольника ABC находим

где DC — высота (медиана, биссектриса) треугольника. Так как и то — искомый угол между сечениями AС₂В и оснонапием АСB. Из прямоугольного треугольника получаем соотношение

С другой стороны, из имеем равенство
Из последних двух равенств следует, что