315.3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ проведено сечение через вершину С₁и ребро АB. Найдите периметр сечения. Если сторона основании равна 24 см, а боковое ребро = 10 см.

Сечение ABC₁ - равнобедренный треугольник, так как

BC₁ = AC₁

как диагонали боковых граней (рис. 92). В правильной треугольной призме боковые ребра перпендикулярны основанию. Поэтому треугольник BCC₁ -— прямоугольный и по теореме Пифагора

Таким образом, периметр сечения равен

Ответ. 76 см.

315.4. Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного отрезка AB то она лежит па плоскости, проходящей через середину отрезка АB и перпендикулярной прямой AB.

Пусть X -— некоторая точка пространства такая, что

AX = BХ

Через точку X п прямую Alt можно принести плоскость а (рис. 93). Известно, что мпожество точек плоскости а, равноудаленных от концов A и B отрезка AB, представляет собой серединный перпендикуляр ОX к oтрезку АB (О — середина АB), т.е.

АО = BО.

Пусть теперь Y — другая точка (не лежащая на ОX) такая, что

AУ = BУ

Тогда все точки прямой OY также равноудалены от А и B. Через прямые ОX и OY проходит единственая плоскость . Для каждой точки Z, плоскости имеем

AZ = BZ

(по аналогии с предыдущим). Еcли W точка, не принадлежащая , то

получим, что W лежит в .Плоскость определена по единственной точке X. Эта плоскость проходит через X и перпендикулярна АB, Требуемое доказано.