319.3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а апофема — 15 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Основанием правильной пирамиды является квадрат AВСD со стороной B = 12 см. Боковые грани пирамиды — равные равнобедренные треугольники (рис. 100).
Апофемой пирамиды является высота ЕF боковой грани ВЕС. Следовательно, треугольник ЕFС прямоугольный, и в нем ЕF = 15 см, a FC = 6 см. По теореме Пифагора

EС² = ЕF² + FC²,

т. е.

ЕС² = 15² + 6² =261

Значит,

319.4. Дан прямоугольный пapaллелепипед. Угол между диагональю основания и одной из его сторон равен . Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен . Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если диагональ основания равна k.

Все грани параллелепипеда AВСDA₁В₁С₁D₁ являются прямоугольиками (рис. 101).
По условию

Боковая поверхность параллелепипеда состоит из двух пар равных прямоугольников:

1. Из находим ,
2. Из (поскольку АB перперндикулярно грани AA₁D₁D , то AB перпендикулярно любой прямой из этой рани, а значит, ) находим
3. Из треугольника ADD₁ по теореме Пифагора

(DD₁)² = (AD₁)² - (AD)²

Следовательно,

Используя формулу синуса суммы и разности двух углов получаем

Наконец,

Теперь можно вычислить требуемую площадь